NumPy 线性代数

NumPy 提供了线性代数函数库 linalg ，该库包含了线性代数所需的所有功能，可以看看下面的说明：

函数 描述
dot 两个数组的点积，即元素对应相乘。
vdot 两个向量的点积
inner 两个数组的内积
matmul 两个数组的矩阵积
determinant 数组的行列式
solve 求解线性矩阵方程
inv 计算矩阵的乘法逆矩阵

numpy.dot()

numpy.dot() 对于两个一维的数组，计算的是这两个数组对应下标元素的乘积和(数学上称之为向量点积)；对于二维数组，计算的是两个数组的矩阵乘积；对于多维数组，它的通用计算公式如下，即结果数组中的每个元素都是：数组a的最后一维上的所有元素与数组b的倒数第二位上的所有元素的乘积和： dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m]) 。 

		numpy.dot(a, b, out=None)

参数说明：

  • a : ndarray 数组
  • b : ndarray 数组
  • out : ndarray, 可选，用来保存dot()的计算结果

实例

import numpy . matlib import numpy as np a = np . array ( [ [ 1 , 2 ] , [ 3 , 4 ] ] ) b = np . array ( [ [ 11 , 12 ] , [ 13 , 14 ] ] ) print ( np . dot ( a , b ) )

输出结果为： 

		[[37  40] 
 [85  92]]

计算式为： 

		[[1*11+2*13, 1*12+2*14],[3*11+4*13, 3*12+4*14]]

numpy.vdot()

numpy.vdot() 函数是两个向量的点积。 如果第一个参数是复数，那么它的共轭复数会用于计算。 如果参数是多维数组，它会被展开。

实例

import numpy as np a = np . array ( [ [ 1 , 2 ] , [ 3 , 4 ] ] ) b = np . array ( [ [ 11 , 12 ] , [ 13 , 14 ] ] ) # vdot 将数组展开计算内积 print ( np . vdot ( a , b ) )

输出结果为： 

		130

计算式为： 

		1*11 + 2*12 + 3*13 + 4*14 = 130

numpy.inner()

numpy.inner() 函数返回一维数组的向量内积。对于更高的维度，它返回最后一个轴上的和的乘积。

实例

import numpy as np print ( np . inner ( np . array ( [ 1 , 2 , 3 ] ) , np . array ( [ , 1 , ] ) ) ) # 等价于 1*0+2*1+3*0

输出结果为： 

		2

多维数组实例

import numpy as np a = np . array ( [ [ 1 , 2 ] , [ 3 , 4 ] ] ) print ( ' 数组 a： ' ) print ( a ) b = np . array ( [ [ 11 , 12 ] , [ 13 , 14 ] ] ) print ( ' 数组 b： ' ) print ( b ) print ( ' 内积： ' ) print ( np . inner ( a , b ) )

输出结果为： 

		数组 a：
[[1 2]
 [3 4]]
数组 b：
[[11 12]
 [13 14]]
内积：
[[35 41]
 [81 95]]
数组 a：
[[1 2]
 [3 4]]
数组 b：
[[11 12]
 [13 14]]
内积：
[[35 41]
 [81 95]]

内积计算式为： 

		1*11+2*12, 1*13+2*14 
3*11+4*12, 3*13+4*14

numpy.matmul

numpy.matmul 函数返回两个数组的矩阵乘积。 虽然它返回二维数组的正常乘积，但如果任一参数的维数大于2，则将其视为存在于最后两个索引的矩阵的栈，并进行相应广播。

另一方面，如果任一参数是一维数组，则通过在其维度上附加 1 来将其提升为矩阵，并在乘法之后被去除。

对于二维数组，它就是矩阵乘法：

实例

import numpy . matlib import numpy as np a = [ [ 1 , ] , [ , 1 ] ] b = [ [ 4 , 1 ] , [ 2 , 2 ] ] print ( np . matmul ( a , b ) )

输出结果为： 

		[[4  1] 
 [2  2]]

二维和一维运算：

实例

import numpy . matlib import numpy as np a = [ [ 1 , ] , [ , 1 ] ] b = [ 1 , 2 ] print ( np . matmul ( a , b ) ) print ( np . matmul ( b , a ) )

输出结果为： 

		[1  2] 
[1  2]

维度大于二的数组 ：

实例

import numpy . matlib import numpy as np a = np . arange ( 8 ) . reshape ( 2 , 2 , 2 ) b = np . arange ( 4 ) . reshape ( 2 , 2 ) print ( np . matmul ( a , b ) )

输出结果为： 

		[[[ 2  3]
  [ 6 11]]
 [[10 19]
  [14 27]]]

numpy.linalg.det()

numpy.linalg.det() 函数计算输入矩阵的行列式。

行列式在线性代数中是非常有用的值。 它从方阵的对角元素计算。 对于 2×2 矩阵，它是左上和右下元素的乘积与其他两个的乘积的差。

换句话说，对于矩阵[[a，b]，[c，d]]，行列式计算为 ad-bc。 较大的方阵被认为是 2×2 矩阵的组合。

实例

import numpy as np a = np . array ( [ [ 1 , 2 ] , [ 3 , 4 ] ] ) print ( np . linalg . det ( a ) )

输出结果为： 

		-2.0

实例

import numpy as np b = np . array ( [ [ 6 , 1 , 1 ] , [ 4 , - 2 , 5 ] , [ 2 , 8 , 7 ] ] ) print ( b ) print ( np . linalg . det ( b ) ) print ( 6 * ( - 2 * 7 - 5 * 8 ) - 1 * ( 4 * 7 - 5 * 2 ) + 1 * ( 4 * 8 - - 2 * 2 ) )

输出结果为： 

		[[ 6  1  1]
 [ 4 -2  5]
 [ 2  8  7]]
-306.0
-306

numpy.linalg.solve()

numpy.linalg.solve() 函数给出了矩阵形式的线性方程的解。

考虑以下线性方程： 

		x + y + z = 6
2y + 5z = -4
2x + 5y - z = 27

可以使用矩阵表示为：

如果矩阵成为A、X和B，方程变为： 

		AX = B
或
X = A^(-1)B

numpy.linalg.inv()

numpy.linalg.inv() 函数计算矩阵的乘法逆矩阵。

逆矩阵（inverse matrix） ：设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。

实例

import numpy as np x = np . array ( [ [ 1 , 2 ] , [ 3 , 4 ] ] ) y = np . linalg . inv ( x ) print ( x ) print ( y ) print ( np . dot ( x , y ) )

输出结果为： 

		[[1 2]
 [3 4]]
[[-2.   1. ]
 [ 1.5 -0.5]]
[[1.0000000e+00 0.0000000e+00]
 [8.8817842e-16 1.0000000e+00]]

现在创建一个矩阵A的逆矩阵:

实例

import numpy as np a = np . array ( [ [ 1 , 1 , 1 ] , [ , 2 , 5 ] , [ 2 , 5 ,- 1 ] ] ) print ( ' 数组 a： ' ) print ( a ) ainv = np . linalg . inv ( a ) print ( ' a 的逆： ' ) print ( ainv ) print ( ' 矩阵 b： ' ) b = np . array ( [ [ 6 ] , [ - 4 ] , [ 27 ] ] ) print ( b ) print ( ' 计算：A^(-1)B： ' ) x = np . linalg . solve ( a , b ) print ( x ) # 这就是线性方向 x = 5, y = 3, z = -2 的解

输出结果为： 

		数组 a：
[[ 1  1  1]
 [ 0  2  5]
 [ 2  5 -1]]
a 的逆：
[[ 1.28571429 -0.28571429 -0.14285714]
 [-0.47619048  0.14285714  0.23809524]
 [ 0.19047619  0.14285714 -0.0952381 ]]
矩阵 b：
[[ 6]
 [-4]
 [27]]
计算：A^(-1)B：
[[ 5.]
 [ 3.]
 [-2.]]

结果也可以使用以下函数获取： 

		x = np.dot(ainv,b)